Все, или почти все, знают, что shall и should - это две формы одного и того же глагола. Но если говорить о глаголе should, то по своему значению он заметно отличается от модального глагола shall.

Функции модального глагола should

Модальный глагол should используется в английском языке для того, чтобы:
1) Дать совет. С помощью модального глагола should можно сказать, что по вашему мнению было бы не плохо выполнить или не выполнять какое-либо действие. Это довольно вежливая форма дать совет, что-то типа "было бы не плохо, если бы вы сделали…".

Примеры:

She is allergic to cats. She should go to the doctor.
У нее алергия на кошек. Ей следует сходить к врачу.

Should I turn right after pedestrian crossing.
Мне следует повернуть на право после пешеходного перехода.

2) Сказать о долге или обязанности. В этом качестве модальный глагол should похож на "модальный глагол must". Использование should вместо must ослабляет предложение, делая сообщение о долге не таким строгим.

Например:

You should send me a report tomorrow.
Ты должен прислать мне отчет завтра.

3) Сообщить, что ожидается какое-то действие или это действие возможно с высокой вероятностью. В таких предложениях модальный глагол must обычно переводится как возможно, вероятно, должно быть.

The time is 4 o'clock. She should be at work now.
Время 4 часа. Должно быть он сейчас на работе.

4) Глагольная конструкция "should have + смысловой глагол" используется, чтобы критиковать чьи-то действия, сказать, что нужно/не нужно было, следовало/не следовало эти действия выполнять.

You should have come later. I'm busy now.
Вам нужно было прийти приходить позже. Я занят сейчас.

5) В сочетание с if (если) модальный глагол should говорит о малой вероятности события, но при этом выражает надежду, что это событие произойдет.

Кроме модального значения, глагол should используется в английском языке для построения времени future in the past. Читайте о вспомогательном глаголе should здесь.